W. Bricken (2006) Syntactic Variety in Boundary Logic, in D. Barker-Plummer et al (eds) Diagrams 2006 LNAI 4045, Springer-Verlag, p.73-87. doi 
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> Boundary Logic is a formal diagrammatic system that combines Peirce's Entitative Graphs with Spencer Brown's Laws of Form. Its conceptual basis includes boundary forms composed of non-intersecting closed curves, void-substitution (deletion of irrelevant structure) as the primary mechanism of reduction, and spatial pattern-equations that define valid transformations. Pure boundary algebra, free of interpretation, is first briefly described, followed by a description of boundary logic. Then several new diagrammatic notations for logic derived from geometrical and topological transformation of boundary forms are presented. The algebra and an example proof of modus ponens is provided for textual, enclosure, graph, map, path and block based forms. These new diagrammatic languages for logic convert connectives into configurations of containment, connectivity, contact, conveyance, and concreteness.
# Syntactic Variety
The remainder of the paper presents over two dozen notations for boundary logic, most of them new. The notations are purely syntactic varieties derived from geometric and topological transformation of boundary forms. Seven families of syntax (parens, circles, distinction networks, steps, centered maps, distinction paths, and blocks) differ topologically, the rest are simpler geometric reconfigurations. Each family could potentially shed light on the sub-structure of logic and of cognition.
*Textual* forms are one-dimensional token strings. Propositional calculus, Boolean algebra, and parens notation are examples. *Enclosures* are two-dimensional, AEG is the primary example. *Graph* and *map* forms are three-dimensional, requiring the use of depth cues such as crossing graph links. Distinction networks and rectangle maps are examples. *Steps* and *rooms* are anthropomorphized maps. *Paths* are one-dimensional forms spread over a two-dimensional space and may be seen as temporal or spatial traversal; distinction paths is the primary example. *Blocks* are three-dimensional spatial forms that can be physically manipulated. Importantly, each variety of syntax is accompanied by a mechanism for valid diagrammatic reasoning.
* […] * Block Varieties ⇒ Varieties
# Conclusion
Algebraic formulation of Peirce's original Entitative Graphs provides a plethora of diagrammatic languages for logic. Diverse geometric and topological transformations of the spatial syntax result in several distinctly different two- and three-dimensional representations, all using the same three abstract pattern-equations to achieve form reduction. Underlying these syntactic varieties is a new set of mathematical concepts: void-equivalence, variary operators, boundary semipermeability, spatial pattern-equations. That our familiar conversational logic and our formal typographic logic can both be rendered in a variety of structurally simpler diagrammatic and experiential representations raises interesting questions for cognitive science. How would a newly acquired ability to visualize or to physically manipulate logical form influence the quality of logical reasoning? More challenging, though, are the unfamiliar formal concepts that do not map onto conventional logic. The pattern of transformations that constitute reasoning in boundary logic is concise: a constructive proof can only proceed from mark to DOMINION to PERVASION, although the void-equivalent structure of OCCLUSION and the void-equivalent paired bounds of INVOLUTION can add syntactic complexity anywhere within a form, as illustrated below:
( ) ⇄ A ( ) ⇄ A (A) ⇄ ((A (A))) ⇄ ((A (A))) (X (X))
For valid forms, PERVASION asserts that context creates content. The familiar idea that the antecedent (content) validates the consequent (context) is reversed. More fundamentally, deduction proceeds by the deletion of irrelevant structure rather than by the accumulation of facts. Like any mathematics, boundary logic is a way of looking at problems, a way of thinking and seeing. As a technique, it may seem incomprehensible at first. After some practice, syntactic manipulation becomes second nature. But, like Venn diagrams, Existential Graphs and other diagrammatic formalisms, can the formal techniques of boundary logic claim to represent cognitive processes?
DE
Die algebraische Formulierung der ursprünglichen Peirce'schen Entitativen Graphen bietet eine Fülle von Diagrammsprachen für die Logik. Diverse geometrische und topologische Transformationen der räumlichen Syntax führen zu mehreren deutlich unterschiedlichen zwei- und dreidimensionalen Darstellungen, die alle dieselben drei abstrakten Mustergleichungen verwenden, um eine Formreduktion zu erreichen. Diesen syntaktischen Varianten liegt eine neue Reihe von mathematischen Konzepten zugrunde: Leerstellen-Äquivalenz, Variationsoperatoren, Grenzsemipermeabilität, räumliche Mustergleichungen. Die Tatsache, dass unsere vertraute Konversationslogik und unsere formale typografische Logik beide in einer Vielzahl von strukturell einfacheren diagrammatischen und erfahrungsbezogenen Darstellungen wiedergegeben werden können, wirft interessante Fragen für die Kognitionswissenschaft auf. Wie würde eine neu erworbene Fähigkeit, logische Formen zu visualisieren oder physisch zu manipulieren, die Qualität des logischen Denkens beeinflussen? Eine größere Herausforderung sind jedoch die unbekannten formalen Konzepte, die sich nicht auf die herkömmliche Logik übertragen lassen. Das Muster der Transformationen, die die Argumentation in der Boundary-Logik ausmachen, ist kurz: Ein konstruktiver Beweis kann nur von der Markierung über DOMINION bis hin zu PERVASION gehen, obwohl die Leerstellen-äquivalente Struktur von OCCLUSION und die Leerstellen-äquivalenten gepaarten Grenzen von INVOLUTION die syntaktische Komplexität überall innerhalb einer Form erhöhen können, wie unten dargestellt:[…]
Für gültige Formen behauptet PERVASION, dass der Kontext den Inhalt schafft. Die vertraute Vorstellung, dass der Vorgänger (Inhalt) den Nachfolger (Kontext) bestätigt, wird umgekehrt. Noch grundlegender ist, dass die Deduktion durch die Löschung irrelevanter Strukturen und nicht durch die Anhäufung von Fakten erfolgt. Wie jede Mathematik ist auch die Boundary-Logik eine Art, Probleme zu betrachten, eine Art zu denken und zu sehen. Als Technik mag sie anfangs unverständlich erscheinen. Nach einiger Übung wird die syntaktische Manipulation zur zweiten Natur. Aber können die formalen Techniken der Boundary Logic wie Venn-Diagramme, Existenzialgraphen und andere diagrammatische Formalismen den Anspruch erheben, kognitive Prozesse darzustellen?